حساب المثلثات للطلبة والأساتذة

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المعادلات المثلثية


نقول عن معادلة أنها معادلة مثلثية إذا كانت تحوي في أحد طرفيها على نسبة مثلثية واحدة أو أكثر

وتنقسم المعادلات المثلثية إلى عدة أنواع

1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )

2) معادلات النوع الثاني ( وهي التي تحوي على نسبتين مختلفتين أو أكثر

3) معادلات النوع الثالث ( وهي كل معادله لا تندرج تحت سقف النوع الأول أو الثاني )

سنقوم بعون الله وتوفيقه بتوضيح النوع الأول والثاني بإسهاب ونأمل أن تكون المشاركات والاستفسارات

ضمن ما يرد وبالترتيب وكلنا أمل أن يكون هذا الموضوع نواة لتغطية المعادلات المثلثية وبمشاركة كافة الأعضاء

على بركة الله نبدأ
1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )

وهنا نذكر بحلول بعض المعادلات الشهيرة

حا س = 0يؤدي الي س = ك ×ط أيضا جا س = 1 يؤدي الي س = ط/2+ ك × 2 ط أيضا حاس = -1 يؤدي الي س = - ط/2 + ك × 2 ط

حتا س = 0 يؤدي الي س = ط/2 + ك × ط أيضا جتا س=1 يؤدي الي س = ك × 2 ط أيضا جتا س = -1 يؤدي الي س = ط + ك × 2 ط


ظا س = 0 يؤدي الي حاس = 0 ـذكر سابقا

ظاس = 1 يؤدي الي س = ط/4 + ك × ط

ظا س = - 1 يؤدي الي س = 3 ط/4 + ك ط

وبالمقابل طتا س = 1/ ظا س

وكل معادلة تحوي طتا يمكن تحويلها إلى ظا س بالعلاقة السابقة

ظتا س = 0 يؤدي الي جتا س = 0 وقد تم ذكره

ظتا س = ± 1 يؤدي الي س = ± ط/4 + ك ط

ويحل هذا النوع من المعادلات المثلثية إما مباشرة أو بردها إلى معادلة جبرية بسيطة

دائما سنفرض أن


ك تنتمي الي ص ( مجموعة الأعداد الصحيحة )

ونقصد بالرمز ( ك × 2 ط ) عدد صحيح من الدورات
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال1: 2 حتا س = 1
الحل :
جتا س = ½ يؤدي الي جتا س = جتا ط/3 يؤدي الي س = ± ط/3 + ك × 2 ط وواضح أن للمعادلة حلان

أو يكون الحل بشكل جبري 2 جتا س = 1 نفرض أن حتا س = ص ونعوض فنجد

2 ص = 1 يؤدي الي ص = ½ يؤدي الي جتا س = ½ ونتمم مثل ما سبق
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال2 :

حل المعادلة المثلثية :


جا2 س - جا س - 2 = 0

نفرض جا س = ص فتصبح المعادلة ( ص2 - ص - 2 = 0 )

وبالتحليل المباشر ترد ( ص - 2 ) ( ص + 1 ) = 0

إما ص = 2 يؤدي الي جا س = 2 وهذا مرفوض لأن جا س ' [ - 1 ، + 1 ]

أو ص= - 1 يؤدي الي حا س = -1 ـ س = -ط/2 + ك × 2ط
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال3 : 2 حا 2 س - 1 = 0

حا س = ± 1 / جذر 2 اذن س = ± ط/4 + ك × 2 ط ، س = ط ± ط + ك × 2 ط

تذكرة لابد منها

حا س = حا ص يؤدي إلي س = يه + ك × 2 ط أو س = ط - ص+ ك × 2 ط

جتا س = جتا ص يؤدي إلي س = ± ص+ ك × 2ط

طا س = طا ص يؤدي إلي س = ص + ك × ط

ظتا س = ظتا ص يؤدي إلي س = ص + ك × ط

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00

2) معادلات النوع الثاني الغير بسيطة

نقول عن معادلة أنها من النوع الثاني فيما إذا كانت تحوي على نسبتين مختلفتين أي فيما إذا كانت

المعادلة المثلثية من الشكل : د ( حا س ، جتا س ) = 0

ولحل هذا النوع من المعادلات لا بد من ارجاعها إلى معادلة من النوع الأول ثم إلى معادلة جبريه

ولإرجاعها إلى معادلة من النوع الأول نتبع أحدى الطرق الثلاث التاليه :

1) إذا بدلنا كل س بـ - س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول د( جتا س ) = 0

2) إذا بدلنا كل س بـ ط - س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول د( جا س ) = 0

3) إذا بدلنا كل س بـ ط + س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول د( ظا س ) = 0

4) إذا لم تنطبق جميع الحالات السابقة عند ئذ نلجأ إلى الطريقة العامة أو الطريقة الجبرية :

وهي على مرحلتين :
أ ) نتأكد هل س = ط + ك × 2 ط حل لها فإذا كان حلا فنقول إنها مجموعة أولى من الحلول وإذا لم تتحقق فنقول إن س = ط ليست حلا

ب) نفتش عن الحلول التي من أجلها س لاتساوي ط + ك × 2 ط أي نبدل في المعادلة

حا س بـ 2ع / 1 +ع2

حتا س بـ 1 - ع2/1 + ع2

طاس بـ 2 ع/1 - ع2

ظتا س بـ 1 - ع2/ 2 ع

فترد المعادلة إلى معادلة جبرية مه العلم أن ع = ظا ( س/2 )

ملاحظة عند تطبيق الحالة العامة ينتج في بعض الأحيان معادلة من الدرجة الرابعة من الصعب حلها لذلك لا نلجأ للحالة العامة غالبا

طريقة حل المعادلات من النوع الثاني ( الغير بسيطه )

1) نجعل الطرف الأيسر =0

2) نحول طرفها الأيسر إلى أقواس مضروبة ببعضها البعض أما بإخراج عامل مشترك أو بوساطة الدساتير المثلثية

3) نطبق الخاصة الصفرية ( إما الأول صفر أو الثاني=0 أو الثالـــــــث ..................
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
أمثلة :
1) حل المعادلة : ظاس = حا س هنا شرط الحل س لاتساوي ط + ط /2 × ك

المعادلة تصبح بعد تحويل ظا س ـ حا س ( جتا س ) = حا س

حاس حتا س - حا س = 0 ـ حا س ( حتا س - 1 ) = 0

إما حا س = 0 ـ س = ط × ك

أو جتا س - 1 = 0 ـ جتا س = 1 ـ س = ك × 2 ط
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
2) حل المعادلة :

جا2 2س = حا2 س

جا2 2س - حا2 س =0

( جا2س - جا س ) (جا 2س + جا س ) = 0

2×جتا(3س/2) جا(س/2)× 2 × جا (3 س/2) جتا (س/2) = 0

جتا(3س/2) جا(س/2)× جا (3 س/2) جتا (س/2) = 0

إما جتا(3س/2) =0 يؤدي إلي 3س/2 = ط/2 + ك × ط

يؤدي إلي س = ط/3 +2/3 ط ك

أو جا(س/2) =0 يؤدي إلي س/2 =ك×ط يؤدي إلي س = 2ط × ك

أو جا( 3س/2) = 0 يؤدي إلي س = 2/3 ط ك

أو جتا( س/2 ) = 0 يؤدي إلي س = ط + ك × 2 ط
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
وهنالك ثلاث حالات شهيره من المعادلات

الأولى : من الشكل ب جتا س + حـ جا س + د = 0

الثانيه : من الشكل ب جتا2 س + حـ حا2 س + د جا س × جتا س + هـ = 0

الثالثة وهي من الشكل : ب جا س × جتا س ± حـ ( حا س ±جتا س ) ± د = 0

حيث كل من ب ، حـ ، د ، هـ أعداد حقيقية معلومة
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
المعادلة ب جتا س + حـ جا س + د = 0 حيث ب × حـ لاتساوي 0

إن الطرف الأول من هذه المعادلة عبارة خطيه ( من الدرجة الأولى ) في جتا س و حا س وتحل وفق الخطوات التالية :

1) نقسم طرفي المعادلة على جذر ( ب^2 + حـ^2 ) فنجد :

( ب/جذر ( ب^2 + حـ^2 ) جتا س + ( حـ /جذر( ب^2 + حـ^2 ) جا س = ( د/ جذر( ب^2 + حـ^2 )

2) نفرض جتا ص = (ب/ جذر( ب^2 + حـ^2 ) ، جا ص = ( حـ/ جذر( ب^2 + حـ^2 ) وبالتبديل في المعادلة :تصبح :

جتا س جتا ص+ جا س جا ص = ( د/ جذر( ب^2 + حـ^2 )

جتا ( س - ص ) = ( د/ جذر( ب^2 + حـ^2 )

فإذا كان المقدار ( د/جذر( ب^2 + حـ^2 )بنتمي الي [ - 1 ، + 1 ] فرضناه جتا ع وإلا فإن المعادلة ليس لها حل في ح

وتصبح المعادلة على الشكل : جتا ( س-ص ) = جتا ع يؤدي الي مجموعة حلولها هي

س - ص = ± ع + ك × 2 ط يؤدي الي س = ص ± ع + ك × 2 ط

ملا حظة هامة

إن الشرط ( د/ جذر( ب^2 + حـ^2 )ينتمي إلي [ - 1 ، + 1 ] إذا وإذا فقط < = ( د/ جذر( ب^2 + حـ^2 ) < = + 1

وهو يكافئ د2 < = ب2 + حـ2 وهو شرط حل هذه المعادلة
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال1: حل المعادلة : جذر( 3 جتا 3س - جا 3س) = جذر 2

نحسب جذر( ب^2 + حـ^2 ) = جذر ( 3 + 1) = 2 نقسم حدود المعدلة على 2 ونتابع

( جذر 3 /2) جتا 3س -( 1/2) جا 3س = جذر 2 / 2

جتا 30 جتا 3س - جا30 جا 3س = جذر 2 /2

جتا(3س + 30) = جتا 45 وهنا أخذنا الدرجات لسهولة الكتابة

3س + 30 = ± 45 + ك × 360 ـ س = - 10 ± 15 + ك × 120
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال2: ناقش حسب قيم المتحول هـ الحقيقية وجود حلول للمعادلة ثم حل المعادلة من أجل هـ = 1

هـ جتا س + جذر( 2 هـ + 1 ) جا س = 1

بداية يجب أن يكون ما تحت الجذر > = 0

2 هـ + 1 > = 0 يؤدي الي هـ > = ( - 1/2)

ننتقل لشرط وجود حل للمعادلة وهو ب2 + جـ2 > = د2

هـ2 + 2 هـ + 1 > = 1 يؤدي الي هـ2 + 2 هـ > = 0

نبحث عن حلول هذه المتراجحة هـ ( هـ + 2 ) > = 0 وهي

هـ تنتمي ] - مالانهاية ، - 2 ] ب [ 0 ، + مالانهاية [

وبالتالي هـ تنتمي [ 0 ، + مالانهاية [ وهي مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتحول هـ ليكون للمعادلة حل

والآن من أجل هـ = 1 نعوض في المعادلة لتصبح : ـ جتا س + جذر( 3 ) حا س = 1

نوجدجذر( ب^2 + حـ^2 ) =جذر( 1 + 3 ) = 2 ونقسم طرفي المعادلة على 2

(1/2) جتا س + ( جذر 3 /2 ) حا س = ( 1/2 )

حتا 60 جتا س + حا 60 جا س = جتا 60

جتا ( س - 60 ) = جتا 60 ـ س - 60 = ± 60 + ك × 2 ط وهي مجموعة الحلول المطلوبة

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
المعادلة من الشكل ب جتا2 س + حـ حا2 س + د جا س جتا س = هـ علما ب × حـ لا تساوي 0 , د لاتساوي 0

نحاول تخفيض الدرجة من الثانية للأولى باستخدام العلاقات المثلثية :

2 جتا2 س = 1 + جتا 2 س

2 جا2 س = 1 - جتا 2 س

2 جا س جتا س = حا 2 س

بعد التعويض ترد المعادلة إلى الشكل بَ جتا 2 س + حـَ جا 2 س = دَ وهذا الشكل سبقت دراسته
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال1: حل المعادلة 2 حتا2 س + حا2 س - حا س حتا س = 2

1 + جتا 2 س + ( 1 - جتا 2 س ) / 2 - ( حا 2 س ) / 2 = 2

جتا 2 س - جا 2 س = 1 وهي الشكل الأول وترد إلى

( 1 / جذر2 ) جتا 2 س - ( 1 / جذر 2 ) حا 2 س = ( 1 / جذر 2 )

حتا 45 جتا 2 س - حا 45 جا 2 س = جتا 45

جتا ( 2 س + 45 ) = جتا 45

2 س + 45 = ± 45 + ك × 360

س = - 22.5 ± 22.5 + ك × 180 وهي تمثل مجموعات الحلول الممكنة للمعادلة
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
من المفيد أن نلاحظ ونستنتج دوما ومباشرة المعادلتان وهما شهيرتان


حتا س - جا س = جذر 2 جتا ( س + 45 )

جتا س + جا س = جذر 2 جتا ( س - 45 )
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال2 عين قيم المتحول هـ الحقبقبة ليكون للمعادلة حل ثم أوجد مجموعة الحلول من أجل هـ = جذر 3

(جذر 3 - هـ ) جا2 س + (جذر 3 + هـ ) جتا2 س = 2 حا س جتا س

نصلح المعادلة ونجمع الحدود على الشكل

جذر 3 ( حا2 س + حتا2 س ) + هـ ( جتا2 س - جا2 س ) = حا 2 س

جذر 3 + هـ جتا 2 س = حا 2 س

هـ جتا 2 س _ جا 2 س = - جذر 3

شرط الحل مربع أمثا ل جتا + مربع أمثال حا > = مربع الطرف الثاني يؤدي الي هـ2 + 1 > = 3

هـ2 > = 2 يؤدي الي - 2 > = هـ > = + 2

ومن أجل هـ = جذر 3 تصبح المعادلة :

جذر 3 جتا 2 س - جا 2 س = - جذر 3

نقسم الطرفين على جذر( 3 + 1 ) = 2 لتصبح

جتا 30 جتا 2 س - جا 30 حا 2س = جتا 150

جتا (2 س + 30 ) = جتا 150 ـ 2 س + 30 = ± 150 + ك × 360 ـ س = - 15 ± 75 + ك × 180
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00

و على بركة الله نتابع بالمعادلة من الشكل :

ب( جتا س ± حا س ) + حـ حا س جتا س = د حيث ب × حـ لاتساوي 0

لحل هذا الشكل من المعادلات التي تضم في ثناياها

جتا س + حا س أو جتا س - جا س نعوض بقيمتها وهي جذر 2 جتا ( س ± 45 )

والآن نفرض س + 45 = ع أو س - 45 = ع

وبالتبديل في المعادلة نحصل على معادلة جبرية من الدرجة الثانية في جتا ع أو جا ع يمكن حلها بالطرق الجبرية المألوفة
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال1 : 2 ( جتا س - حا س ) + حا س جتا س = 2

جتا س- حا س = جذر 2 جتا ( س + 45 )

نفرض ( س + 45 ) = ص يؤدي إلي س = ص - 45 أو [ س + ط/4 = ص ] يؤدي إلي س = ص – ط/4

نبدل في المعادلة تصبح

2 جذر 2 جتا ص + 1/2 حا 2 ( ص - 45 ) = 2 يؤدي إلي

2 جذر 2 جتا ص - 1/2 جتا 2 ص = 2 يؤدي إلي

2 جذر 2 جتا ص - 1/2 ( 2 جتا2 ص - 1 ) = 2 يؤدي إلي

حتا2 ص - 2 جذر 2 جتا ص + 3/2 = 0 وهي معادلة جبرية مميزها = 2 وبالتالي إما

جتا ص = ( 2 جذر 2 + جذر 2 ) / 2 = 3/2 جذر 2 يؤدي إلي جتا ص >1 إذن لا يوجد حلول

أو جتا ص = ( 2 جذر 2 - جذر 2 )/2 = جذر 2 /2

جتا ص = جتا 45 ـ ص = ± 45 + ك × 360 يؤدي إلي

س = ± 45 - 45 + ك × 360 وهي مجموعة الحلول للمعادلة المفروضة
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال2: 1/2 ( جتا س + حا س ) = /\ 2 حا س جتا س

جذر 2 / 2 جتا ( س - 45 ) = جذر 2 / 2 جا 2 س

جتا ( س - 45 ) = جا 2 س وهنا الحل بالطريقة السابقة أو

حتا ( س - 45 ) = جا 2 س = جتا ( 90 - 2 س ) ـ س - 45 = ± ( 90 - 2 س ) + ك × 360

إما 3 س = 135 + ك × 360 ـ س = 45 + ك × 120

أو - س = - 45 + ك × 360 ـ س = 45 - ك × 360

طبعا يمكن حل المعادلات بأساليب أخرى فمثلا يمكن أن نتمكن من سلوك طريق أسهل في الحل
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال:جتا2 س + جذر 3 حا 2 س = 2 جتا س + جا2 س

يمكن أن نفكر بتخفيض الدرجة وقد مر ذكره ويمكن أن يكون الحل على الشكل التالي:

جتا2 س - جا2 س + جذر 3 حا 2 س = 2 حتا س

جتا 2 س + جذر 3 جا 2 س = 2 جتا س ( نقسم الطرفين على 2 )

1/2 جتا 2س + جذر 3 /2 جا 2 س = جتا س يؤدي إلي جتا ( 2 س - 60 ) = جتا س

2 س - 60 = ± س + ك × 360 يؤدي إلي

إما س = 60 + ك × 360 أو س = 20 + ك × 120

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00

حل المعادلة: حا3 س + 3 جتا3 س + حا س = 0

وهي لاتنطبق عليها الحالات التي وردت سابقا

نلاحظ أن س = 90 + ك × 180 ليست مجموعة من الحلول لها نقسم طرفي المعادلة على جتا3 س

ظا3 س + 3 + حا س / جتا3 س = 0 يؤدي الي ظا3 س + 3 + ظا س ( 1 + ظا2 س ) = 0

2 ظا3 س + ظا س + 3 = 0 يؤدي الي ترد إلى معادلة جبرية ص = ظا س يؤدي الي 2 ص3 + ص + 3 = 0 وبملاحظة أن ص = - 1 حل لها

( ص + 1 ) ( 2 ص2 - 2 ص + 3 ) = 0

القوس الثاني مميزه = - 20 سالب ليس له جذور ( أصفار)

ص = - 1 يؤدي الي ظا س = - 1 = ظا - 45 يؤدي الي س = - 45 + ك × 180 وهي مجموعة وحيدة من الحلول
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
لاحظ المثال التالي حل المعادلة: حا3 س + 3 جتا3 س - حا س = 0

نلاحظ أن س = 90 + ك × 180 مجموعة من الحلول لها نقسم طرفي المعادلة على جتا3 س فنقول أن هذه مجموعة أولى من الحلول ونتابع كما فعلنا في السابق لتنتج باقي الحلول
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثال 2 :حل المعادلة جا3 س + جتا3 س = جا س

يمكن الحل كما ورد سابقا أو يمكن كتابته على شكل جداء عوامل :

جا س ( 1 - جتا2 س ) + جتا3 س = جا س

جا س - جا س جتا2 س + جتا3 س = جا س

جا س جتا2 س + جتا3 س = 0

جتا2 س ( جتا س _ جا س ) = 0 نطبق الخاصة الصفريه إما الأول = 0 أو الثاني = 0

جتا2 س = 0 يؤدي الي س = 90 + ك × 180

أو جتا س - جاس = 0 يؤدي الي وقد مر المشابه أكثر من مره يؤدي الي الحلول

التحية للجميع
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00

أمثلة
حتا (س/3 ) - جا ( س/2) + 2 = 0
س/3 = 2 ( س/6 ) ’ س/2 = 3 ( س/6 ) بالتحويل

حتا(س/3) = 1 - 2 حا2 (س/6) و جا(س/2) = جا(3س/6) = 3 جا(س/6) - 4 جا3 (س/6) نعوض في المعادلة

1 - 2 حا2 (س/6) - [ 3 جا(س/6) - 4 جا3 (س/6) ] + 2 = 0

4 جا3 (س/6) - 2 جا2 (س/6) - 3 جا (س/6) + 3 = 0

وهنا نلاحظ أن جا (س/6) = - 1 هو حل للمعادلة ( يمكن أن تحول إلى معادة جبرية افرض جا س/6 = ص )

[ جا (س/6) + 1 ] [ 4 جا2 (س/6) - 6 جا(س/6) + 3 ] = 0

القوس الثاني مميزه سالب ليس له جذور ( أصفار)

جا (س/6) = -1 يؤدي الي س/6 = 3ط/2 + ك ×ط

س = 9 ط + ك × 6 ط

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
( 2 ) حل المعادلات المثلثية الاتية
الأولى : 1 + جتا س + جتا 2س + جتا 3س = 0

1 + جتا 2س + جتا س + جتا 3س = 0

2 جتا2 2س + 2 جتا 2س جتا س = 0

2 جتا 2س ( جتا 2س + جتا س ) = 0

2 جتا 2س × 2 × جتا ( 3 س/2 ) جتا ( س / 2 ) = 0 ومنه تطبيق الخاصة الصفرية
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
الثانية : 1 - جتا 2س + جا 3س - جا س = 0

2 جا2 س + 2 جتا 2س جا س = 0

2 جا س (حا س + جتا 2س ) = 0

2جا س [ جتا ( 90 - س ) + جتا 2س ] = 0

2 جا س × 2 جتا ( 45 + س/2 ) × جتا ( 45 - 3س/2 ) = 0ومنه تطبيق الخاصة الصفرية
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
الثالثة : 1 - جتا 4س + جا 4س = 0

جتا 4س - جا 4س = 1 وهو الشكل الأول

جذر 2 جتا ( 4س + 45 ) = 1

جتا ( 4س + 45 ) = 1 /جذر 2 = جتا 45 وبالتالي أصبحت سهلة

ويمكن أن تحل بطرق اخرى ؟؟
يعني ممكن الاولي تحل كما يلي

1 + حتاس + حتا2س + حتا3س = 0
1+حتاس +2[(حتاس)^2 -1]+[4(حتاس)^3-3حتاس]=0
4(حتاس)^3 + 2(حتاس)^2 - 2حتاس =0
2حتاس[2(حتاس)^2 + حتاس - 1] = 0
2حتاس(2حتاس - 1)(حتاس +1)=0
حتاس = 0 أي س = ط/2 + ن ط
حتاس =1/2 أ س = ط/3 + 2ن ط أو 5ط/3 + 2ن ط
حتاس =-1 أي س = ط + 2 ن ط
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مثال آخر حل المعادلة

جا4 س + جتا4 س = 1/8 جتا 2س + جذر 3 /8 جا 2س + 3/4

بصورة عامة دائما ينصب الاهتمام على تخفيض درجة المعادلة المثلثية

ومن ثم توحيد الزوايا وردها الى أحد الأشكال السابقة أو يمكن حلها بطرق مختلفة مثلا :

مع ملاحظة أن : ( ب2 + حـ2 ) 2

= ب4 + حـ4 +2 ب2 حـ2 ـ ب4 + حـ4 = ( ب2 + حـ2 ) 2 - 2 ب2 حـ2

وبالمقارنة نجد :

حا4 س + حتا4 س = 1 - 2 حا2 س حتا2 س يؤدي الي بالتعويض في المعادلة السابقة تصبح :

1 - 2 حا2 س حتا2 س = 1/8 جتا 2س +جذر 3 /8 جا 2س + 3/4 نضرب الطرفين بــ 4 فتصبح المعادلة على الشكل :

1 - 2 ( 2 حا س حتا س )2 = 1/2 حتا 2س + جذر 3 /2 حا 2س

حتا 4س = جتا ( 2س - 60 )

1 - 2 حا2 2س = حتا 60 حتا 2س + حا 60 حا 2س يؤدي الي

4س = ± ( 2 س - 60 ) + ك × 360 : ك عدد صحيح
00000000000000000000000000000000000000000000000000
ملاحظة : فيما إذا كانت المعادلة تحوي :

جتا4 س - جا4 س = ( جتا2 س)2 - ( حا2 س )2 = ( جتا2 س + جا2 س ) ( جتا2 س - جا2 س ) = جتا 2س نعوض في المعادلة

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
حل المعادلة المثلثية التالية :

2 جتا2 س - 2 جتا2 2س + جتا 2س + جتا 4س - 1 = 0


2 جتا2 س + 2 جتا 3س جتا س - 2 جتا2 2س - 1 = 0

2 جتا س ( جتا س + جتا 3س ) - 2 جتا2 2س - 1 = 0

2 جتا س × 2 جتا 2س جتا ( - س ) - 2 جتا2 2س - 1 = 0

4 جتا2 س جتا 2س - 2 جتا2 2س -1 = 0

2 ( 1 + جتا 2س ) جتا 2س - 2 جتا2 2س = 1

2 جتا 2س = 1 ـ جتا 2س = 1/2 = جتا 60 ـ

2س = ± 60 + ك × 360 حيث ك عدد صحيح ومنها نستطيع ايجاد الحلول المقبولة

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
ب حـ د هـ رباعي محدب ( قطره حـ هـ يقسمه إلى مثلثين )

الاول ب حـ هـ متساوي الساقين رأسه ب والثاني حـ د هـ متساوي الأضلاع بفرض طول [ ب حـ ] = جذر 2 سم ، < ب = س درجة :

1) أثبت أن مساحة الرباعي ب حـ د هـ بدلالة س = جا س + 2 جذر 3 جا2 س/2

ثم عين قيمة س عندما تكون مساحة هذا الرباعي تساوي 2 جذر 3

مساحة مثلث = نصف × ضلع1 × ضلع2 × جيب الزاوية بينهما

مساحة المثلث ب جـ هـ = ½ × 2 × جا س = جا س

لنوجد طول الضلع [ جـ هـ ] بفرض ن منتصف الضلع جـ هـ

ل [ جـ هـ ] = 2 × ل [ جـ ن ] = 2 × جذر 2 جا س/2 وهو طول ضلع المثلث المتساوي الاضلاع

مساحة المثلث المتساوي الاضلاع د جـ هـ ويمكن حسابها بعدة طرق = مربع طول ضلعه × جذر 3 /4

مساحة المثلث المتساوي الاضلاع د جـ هـ = 2 × جذر 3 جا2 س/2

مساحة الرباعي = جا س + 2 جذر 3 جا2 س/2

بالنسبة للطلب الثاني عين قيمة س لتكون مساحة الرباعي = 2 /\ 3 سم2 ترد لحل المعادلة المثلثية

جا س + 2جذر 3 جا2 س/2 = 2 جذر 3
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مسألة أخري :
نصف دائرة مركزها م ونصف قطرها نق و [ ب حـ ] قطرها

لتكن ن نقطة من نصف الدائرة وقياس القطاع الزاوي ب م ن = س عين الزاوية س التي تحقق العلاقة :

طول [ ن ب ] + جذر 3 طول[ ن حـ ] = 4 نق
الحل :
المثلث ب ن حـ قائم في ن

لأن ن محيطية تقابل قطر الدائرة زاوية حـ = س/2 محيطية تساوي نصف المركزية المشتركة معها بالقوس ب ن

طول[ ب ن ] = 2 نق جا س/2

طول [ ن حـ ] =2 نق جتا ( 90 - س/2 ) بالتعويض في العلاقة السابقة نجد

2 نق جا س/2 + 2 نق جذر 3 جتا س/2 = 4 نق

جا س/2 + جذر 3 جتا س/2 = 2

جتا ( س/2 - 30 ) = 1

س/2 - 30 = 360 × ن يؤدي الي س = 60 + 2 × 360 × ن

س = 60 + 2 × 360 × ن اذا كانت ن في مثلث نقول س = 60

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
حل المعادلة المثلثية
جا 2س + ظا س = 2

الحل
جا 2س + ظا س = 2

2 ظا س/( 1 + ظا2 س ) + ظا س = 2 نضرب الطرفين بــ ( 1 + ظا 2 س )

2 ظا س + ظا س ( 1 + ظا2 س ) = 2 ( 1 + ظا2 س )

ظا3 س - 2 ظا2 س + 3 ظا س - 2 = 0 نلاحظ أن ظا س = 1 حل للمعادلة

( ظا س - 1 ) ( ظا2 س - ظا س + 2 ) = 0

القوس الثاني مميزه سالب لاينعدم

ظا س = 1 = ظا 45

مجموعة الحلول س = 45 + 180 × ن

00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
مانوع المثلث أ ب حـ الذي تحقق زواياه العلاقة التالية :ونرجوا ذكر طريقة الحل وليس الناتج للفائدة أكثر مع الشكر

حا ب/2 × جتا3حـ/2 = حا حـ/2 جتا3 ب/2

الحل :
جتا ب/2 لاتساوي 0 , جتا جـ/2 لاتساوي 0 زاويتان في مثلث

نقسم الطرفين على جتا3 ب/2 جتا3 حـ/2 لنجد

ظا ب/2 ( 1/جتا2 ب/2 ) = ظا جـ/2 ( 1/جتا2 جـ/2 )

ظا ب/2 ( 1 + ظا2 ب/2 ) = ظا جـ/2 ( 1 + ظا2 جـ/2 )

( ظا ب/2 - ظا جـ/2 ) + ظا3 جـ/2 - ظا3 جـ/2 = 0

( ظا ب/2 - ظا جـ/2 ) ( ظا2 ب/2 + ظا جـ/2 ظا ب/2 + ظا2 جـ/2 + 1 ) = 0

اذا حسبتا المميز للقوس الثاني

D = ظا2 جـ/2 - 4 ( ظا2 جـ/2 + 1 )

= - 3 ( ظا2 جـ/2 - 4 < 0 ( اصغر تماما من الصفر لاينعدم المقدار)

ظا ب/2 = ظا جـ/2

ب/2 = جـ/2 + 180 × ن يؤدي الي ب = جـ والمثلث متساوي الساقين
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
مثلث س ص ع نصفت زاوية س بمنصف قطع ص ع فى ن

اثبت ان س ن = حتا ( س / 2 ) × ( 2 س ع × س ص )/ ( س ع + س ص )
الحل :
سطح س ع ص = سطح س ع ن + سطح س ن ص

مساحة مثلث = نصف × حاصل ضرب ضلعين × حيب الزاوية المحصورة بينهما

½ ×س ع × س ص × حا س = ½ × س ع × س ن × حا(س/2) + ½ × س ن × س ص × حا(س/2)

س ع × س ص × 2 × حتا(س/2) = س ع × س ن + س ن × س ص

2 × س ع × س ص × جتا(س/2) = س ن ( س ع + س ص )

س ن = حتا ( س / 2 ) × ( 2 س ع × س ص ) / ( س ع + س ص )
00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
س ص ع مثلث فية س ص = س ع ، حا (س/2)×حا(ص/2 )×حا(ع/2 ) = 1/ 8 اثبت ان المثلث متساوى اضلاع
الحل:
س + ص + ع = 180
س + 2ص = 180 ( س = ص المثلث متساوي الساقين)
س/2 + ص = 90
س/2 = 90 - ص
حا(س/2) = حا(90 - ص) = حتاص (1)
من المعطى حاس/2 × حاص/2 × حاع/2 = 1/8
حاس/2 × (حاص/2)^2 = 1/8 (س = ص) (2)
من (1) في (2)
حتاص × (حاص/2)^2 = 1/8 بالضرب × 8 واستبدال حتاص = 1 - 2(حاص/2)2
8 × (1 - 2(حاص/2)2 ) × (حاص/2)^2 = 1
8 (حاص/2)^2 - 16 (حاص/2)^4 - 1 = 0 بالضرب في -1 والترتيب
16 (حاص/2)^4 - 8 (حاص/2)^2 + 1) = 0
(4(حاص/2)^2 - 1)2 = 1
4(حاص/2)^2 = 1
2حاص/2=1
حاص/2= 0.5
ص/2 = 30
ص = 60 = ع ومنها س = 60 فالمثلث متساوي الأضلاع

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
اثبت ان حا 54 - حا 18 = 1/ 2
الحل:
نضرب ونقسم العلاقة ( حا 54 - حا 18 ) بــــ جتا 54 لنجد

( 1/جتا54 ) [ جا54 × جتا 54 - حا 18 × جتا 54 ]

( 1/جتا54 ) [ ½ جا 108 - ½ جا 72 + ½ جا 36 ]

لكن جا 108 = جا 72 لأن مجموعهما = 180 متكاملتان

( 1/جتا54 ) [ ½ جا 36 )

لكن جتا 54 = جا 36 لأن مجموعهما = 90 زاويتان متتامتان

= ½ وهذا هو المطلوب
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00

أخي الكريم إن استوعبت ما ورد في المشاركات السابقة حاول أن تحل هذا التمرين

برهن أنه إذا تحققت العلاقة : جتا ب × جتا جـ × جتا د = 1/8 في المثلث ب جـ د فإن ب جـ د مثلث متساوي الأضلاع

ان استطعت حله فأنت تكون استوعبت 95% من مادة حل المعادلات المثلثية

00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
اذا علمت ان المثلث يحقق العلاقة : جتا^2 ( 3 جـ ) + جتا^2 ( ب ) = 0
اوجد زوايا المثلث ب جـ د
الحل :
العلاقة المعطاة تستلزم أن تنعدم حدودها كلاً على حدى
أى أن:
( جتا ب )^2 = صفر ---> قياس < (ب ) = 90 أو قياس <(ب) = 270 وهذا مرفوض
بالمثل
(جتا 3جـ) ^ 2 = صفر---> قياس < (3جـ ) = 90 ومنها قياس <(جـ) = 30
أو قياس <(3 جـ) = 270 ومنها قياس <(جـ) = 90

فتكون قياسات زوايا المثلث ب جـ د هى 90 , 30 , 60 على الترتيب
ويوجد أحتمال أفتراضى أخر
أن يكون المثلث ب جـ د متساوى الساقين فيه د ب = د جـ وقياس زاوية رأسه د = صفر
قياسات زوايا قاعدته متساوية كل منها 90 أى أن نقطة ب تنطبق على نقطة جـ
فيصبح المثلث عبارة عن القطعة مستقيمة ب د

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00
حل المعادلة المثلثيه
جا^6 س + جتا^6 س = 5/6 ( جا^4 س + جتا^4 س )
الحل :
نبدأ بعونه تعالى :
من النظرة الاولى المعادلة تحتاج لتخفيض الاسس من اجل حلها وهنا مربط الفرس كل ينظر بمنظاره وانا وجدت الاتي :
6 ( جتا^6 س + جا^6 س ) = 5 ( جتا^4 س + جا^4 س )
نضيف ونطرح للطرف الثاني : ( جتا^4 س + جا^4 س ) فتصبح
6 ( جتا^6 س + جا^6 س ) = 6 ( جتا^4 س + جا^4 س ) - ( جتا^4 س + جا^4 س )
6 جتا^4 س ( جتا^2 س - 1 ) + 6 جا^4 س ( جا^2 س - 1 ) = - ( جتا^4 س + جا^4 س )
- 6 جتا^4 س جا^2 س - 6 جا^4 س جتا^2 س = - ( جتا^4 س + جا^4 س )
6 جا^2 س جتا^2 س ( جا^2 س + جتا^2 س ) = جتا^4 س + جا^4 س
نضيف للطرفين 2 جا^2 س جتا^2 س لتصبح المعادلة :
8 جا^2 س جتا^2 س = ( جا^2 س + جتا^2 س )^2
2 ( 2 جا س جتا س )^2 = 1
2 ( جا 2س )^2 = 1
جا 2س = ± 1 / جذر 2
2 س = ط/4 + 2 ط ك . . . . . . . . . . . حيث ط = بي
ومجموعات الحلول تصبح :
س1 = ط/8 + ط ك
س2=3ط/8 + ط ك
س3= - ط/8 + ط ك
س4= - 3ط/8 + ط ك
=====================
وهنالك حلول اخرى تؤدي نفس المفعول والنتيجة وهي تخفيض الدرجة ( مجموع مكعبي حدين )
( جتا^6 س + جا^6 س ) = [جتا^2 س ]^3 + [جا^2 س ]^3 = ( جتا^2 س + جا^2 س ) ( جتا^4 س - جتا^2 س جا^2 س + جا^4 س )
جتا^6 س + جا^6 س = 1 ( جتا^2 س + جا^2 س )^2 - 3 جتا^2 س جا^2 س
جتا^6 س + جا^6 س = 1 - 3 جتا^2 س جا^2 س
وكذلك
جتا^4 س + جا^4 س = 1 - 2 جتا^2 س جا^2 س
بالتعويض بالمعادلة ترد
6 ( 1 - 3 جتا^2 س جا^2 س ) = 5 ( 1 - 2 جتا^2 س جا^2 س )
8 جتا^2 س جا^2 س = 1 وهي نفس المعادلة السابقة
===============================
كما يمكن الحل بطريقة اخرى
نقسم طرفي المعادلة على جتا^6 س بعد التأكد ان س = ط/2 + ط ك ليس مجموعة حلول
لترد المعادلة للشكل:
طا^6 س - 5 طا^4 س - 5 طا^2 س + 1 = 0
( طا^2 س + 1 ) ( طا^4 س - 6 طا^4 س + 1 ) = 0 القوس الاول لا يحلل
القوس الثاني على المميز يعطي الحلول بعد معرفة النسب المثلثيه للزاويه 22.5 و 67.5
( ظا س /2 )^2 = ( 1 - جتا س ) / ( 1 + حتا س )
ظا^2 ط/8 = ظا^2 22.5 = 3 - 2 جذر2
ظا^2 3ط/8 = ظا^2 67.5 = 3 + 2 جذر2
00000000000000000000000000000000000000000000000000 00

حل أخر للمعادلة جتا(س/3)- جا(س/2)+2=0
نفرض س/2=ص فيكون س=2 ص فتصبح المعادلة :
جتا(2 ص/3)-جا(ص)+2=0
1-2جا^2(ص/3)-3جا(ص/3)+4جا^3(ص/3)+2=0
4جا^3(ص/3)-2جا^2(ص/3)-3جا(ص/3)+3=0
[جا(ص/3)+1] [4جا^2(ص/3)-6جا(ص/3)+3]=0
جا(ص/3)+1=0
جا(ص/3)=-1
ص/3= -90+360ك
ص= -270+1080ك
س= -540+2160ك
[4جا^2(ص/3)-6جا(ص/3)+3] لا تساوي 0 لان المميز (36-48=-12)
أصغر من الصفر

00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
عين قيم ل ليكون للمعادلة حلول مقبولة
حتا^2 س + ل حتا س +2 ل - 4 = 0
الحل نعيد كتابة المعادلة بالشكل

حتا^2 س - 4 + ل (حتا س +2 ) = 0 نحلل و نوجد العوامل المشتركة

(جتا س - 2 ) ( جتا س + 2 ) + ل (حتا س +2 ) = 0

(حتا س +2 ) ( جتا س - 2 + ل ) = 0 ومنه اما جتا س = - 2 مرفوض

او جتا س = - 2 + ل لكن -1 < = جتا س = < 1

نعوض جتا لنجد
-1 < = - 2 + ل = < 1
نضيف للأطراف 2 لتصبح 1 < = ل = < 3 اي ان ل من المجال [ 1 ، 3 ]